O Mozilla Thunderbird é uma opção grátis e estável para você baixar os seus e-mails para o seu computador.
Inicialmente, baixe o programa no endereço https://www.thunderbird.net/pt-BR/download/.
Finalizada a instalação, preencha a primeira tela com as informações abaixo e clique em CONFIGURAR MANUALMENTE:
Depois disso, preencha com os seguintes dados:
O endereço mail.seusite.com.br é para ser substituído pelo endereço do seu site. Exemplo: Se o seu site é vivaobarrigudo.com.br, você deve usar mail.vivaobarrigudo.com.br.
Se o seu domínio não possuir certificado SSL, substituir o mail.seusite.com.br pelo endereço mail.xamativo.com.
Clique agora em TESTAR NOVAMENTE e depois em PRONTO.
Agora é só usar o aplicativo para enviar e receber seus e-mails pelo computador!